Derivada del coseno

Si el argumento de la función coseno es la función identidad f(x)=x, es decir, si se tiene g(x)=cos(x), entonces su derivada es igual a menos el seno de x. Matemáticamente, esto se expresa como g'(x)=-sen(x).

Si el argumento de la función coseno es otra función h(x), es decir, se tiene f(x)=cos(h(x)), entonces su derivada es igual al producto de la derivada del coseno, que es menos seno, evaluado en h(x), por la derivada del argumento h(x). Matemáticamente, esto se expresa como g'(x)=-sen[h(x)]∙h'(x).

Tabla de contenido

Derivada del coseno de x
Derivada del coseno de una función
Ejemplos
Preguntas frecuentes

Derivada del coseno de x

La derivada del coseno de x con respecto a x es igual a menos seno de x. Esto es equivalente a la derivada del coseno de la función identidad f(x)=x. Es decir, si g(x)=cos(x), entonces su derivada con respecto a x es igual a menos el seno de x. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}g(x)&=\frac{d}{dx}\cos(x)\\&=-\sin(x)\end{aligned}\]

Derivada del coseno de una función

Cuando el argumento de la función coseno es otra función h(x), es decir, se tiene f(x)=cos(h(x)), su derivada se obtiene aplicando la regla de la cadena. En este caso, la derivada de cos(h(x)) con respecto a x es igual a la derivada de la función coseno, que es menos seno, evaluado en h(x), y multiplicado por la derivada de h(x). Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}\cos{\left(h(x)\right)}\\&=-\sin{\left(h(x)\right)}\cdot h’(x)\end{aligned}\]

Esto significa que, en primer lugar, se deriva la función coseno como si su argumento fuera simplemente x. Luego, se evalúa la función interna h(x) dentro de la derivada del coseno y, por último, el resultado se multiplica por la derivada de h(x), que corresponde a la función dentro del argumento del coseno.

Por ejemplo, sea f(x) una función definida como f(x)=cos(2x). En este caso, el argumento de la función coseno es h(x)=2x, por lo que se puede reescribir f(x)=cos(2x) como f(x)=cos(h(x)). Para hallar su derivada, primero se deriva la función coseno como si su argumento fuera simplemente x, lo que da como resultado menos el seno de x, es decir, -sen(x). Luego, se evalúa la función interna h(x)=2x dentro de la derivada del coseno, lo que da como resultado -sen(2x). Finalmente, el resultado se multiplica por la derivada de h(x), que en este caso es h’(x)=2:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}\cos(2x)\\&=-\sin(2x)\cdot 2\\&=-2\sin(2x)\end{aligned}\]

Por lo tanto, la derivada de f(x)=cos(2x) es igual a f’(x)=-2sen(2x).

Ejemplos

Ejemplo 1: Sea la función f(x)=cos(x²+1). En este caso, el argumento de la función coseno es h(x)=x²+1, por lo que la función f(x) puede reescribirse como f(x)=cos(h(x)). Para hallar su derivada, primero se deriva la función coseno como si su argumento fuera simplemente x, lo que da como resultado -sen(x). Luego, se evalúa la función interna h(x)=x²+1 en la derivada del coseno, obteniendo así -sen(x²+1). Finalmente, el resultado se multiplica por la derivada de la función h(x), que corresponde a la función dentro del argumento del coseno, es decir, h’(x)=2x.

Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}\cos(x^2+1)\\&=-\sin(x^2+1)\cdot 2x\\&=-2x\sin(x^2+1)\end{aligned}\]

Por lo tanto, la derivada de f(x)=cos(x²+1) es f’(x)=-2x sen(x²+1).

Ejemplo 2. Sea la función f(x)=cos(√x). En este caso, el argumento de la función coseno es h(x)=√x, por lo que esta función puede reescribirse como f(x)=cos(h(x)). Para hallar su derivada, primero se deriva la función coseno como si su argumento fuera simplemente x, lo que da como resultado -sen(x). Luego, se evalúa la función interna h(x)=√x dentro de la derivada del coseno, obteniendo así -sen(√x). Finalmente, este resultado se multiplica por la derivada de h(x)=√x, que es h’(x)=1/(2√x).

Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}\cos\left(\sqrt{x}\right)\\&=-\sin\left(\sqrt{x}\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\\&=-\frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}}\end{aligned}\]

Por lo tanto, la derivada de f(x)=cos(√x) es f’(x)=-sen(√x)/(2√x).

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la derivada del coseno?

La derivada de la función coseno, cos(x), con respecto a x es igual a menos seno de x. Es decir: d/dx [cos(x)]=-sen(x).

¿Cómo se deriva la función coseno?

Para derivar la función coseno, se aplica la regla básica de derivación. La derivada de cos(x) con respecto a x es -sen(x). Si el argumento de la función coseno es otra función h(x), se usa la regla de la cadena: d/dx [cos(h(x))]=-sen(h(x))*h’(x).