Dicciomat

Ecuación general de la circunferencia

Ecuación general de una circunferencia con centro en el y fuera del origen de coordenadas del plano cartesiano

La ecuación general de la circunferencia con centro en el origen está definida de la siguiente manera:

\[x^2+y^2-r^2=0\]

Para deducir esta ecuación, es necesario conocer la ecuación de la circunferencia con centro en el origen, también conocida como ecuación canónica o ecuación estándar de la circunferencia, la cual está definida de la siguiente manera:

\[x^2+y^2=r^2\]

En esta ecuación, “x” y “y” representan las coordenadas (x, y) de cualquier punto de la circunferencia, y “r” representa el valor del radio de la circunferencia.

La ecuación general de la circunferencia con centro fuera del origen está definida de la siguiente manera:

\[x^2+y^2+Ax+By+C=0\]

Para hallar esta ecuación, es necesario conocer la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen, también conocida como ecuación ordinaria de la circunferencia, la cual está definida de la siguiente manera:

\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]

En esta ecuación, “x” y “y” representan las coordenadas (x, y) de cualquier punto de la circunferencia, y “h” y “k” representan las coordenadas (h, k) del centro de la circunferencia, y “r” representa al radio de la circunferencia.

A continuación, veamos cómo deducir la ecuación general de la circunferencia tanto para el caso en el que el centro está en el origen, como para cuando el centro está fuera del origen de coordenadas del plano cartesiano.

Tabla de contenido

La circunferencia

Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que se encuentran a una misma distancia “r”, denominada radio de la circunferencia, respecto de un punto fijo “c”, denominado centro de la circunferencia.

Cuando el centro de una circunferencia está en el origen de coordenadas (0, 0) del plano cartesiano, la ecuación de la circunferencia con centro en el origen (ecuación canónica o estándar) está definida como x2+y2=r2.

Cuando el centro de la circunferencia está fuera del origen de coordenadas del plano cartesiano, la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen (ecuación ordinaria) está definida como (x-h)2+(y-k)2=r2.

Ecuación general de la circunferencia con centro en el origen

La ecuación general de la circunferencia con centro en el origen, definida como x2+y2-r2=0, se obtiene a partir de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen, la cual está definida como x2+y2=r2.

Para deducir la ecuación general de la circunferencia con centro en el origen, simplemente se debe igualar a cero la ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

\[\begin{aligned}x^2+y^2&=r^2\\x^2+y^2-r^2&=0\end{aligned}\]

De esta manera, la ecuación general de la circunferencia con centro en el origen queda definida de la siguiente manera:

\[x^2+y^2-r^2=0\]

Por ejemplo, si la ecuación de una circunferencia con centro en el origen está definida como x2+y2=100, entonces su ecuación general se obtiene al igualar a cero dicha ecuación ordinaria.

Al igualar a cero la ecuación x2+y2=100, se obtiene la ecuación general de la circunferencia x2+y2-100=0.

Ecuación general de la circunferencia con centro fuera del origen

La ecuación general de la circunferencia con centro fuera del origen, definida como x2+y2+Ax+By+C=0, se obtiene a partir de la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen, la cual está definida como (x-h)2+(y-k)2=r2.

Para deducir la ecuación general de la circunferencia con centro fuera del origen, se desarrollan los binomios al cuadrado de la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen, se iguala a cero la ecuación y se simplifica la ecuación resultante.

Al desarrollar los binomios al cuadrado en la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen (x-h)2+(y-k)2=r2, se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}(x-h)^2&=(x-h)(x-h)\\&=x^2-xh-hx+h^2\\&=x^2-hx-hx+h^2\\&=x^2-2hx+h^2\\(y-k)^2&=(y-k)(y-k)\\&=y^2-yk-ky+k^2\\&=y^2-ky-ky+k^2\\&=y^2-2ky+k^2\end{aligned}\]

Con estos desarrollos, la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen puede reescribirse de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}(x-h)^2+(y-k)^2&=r^2\\(x^2-2hx+h^2)+(y^2-2ky+k^2)&=r^2\end{aligned}\]

Al ordenar los términos e igualar a cero la ecuación anterior, se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}(x^2-2hx+h^2)+(y^2-2ky+k^2)&=r^2\\x^2-2hx+h^2+y^2-2ky+k^2&=r^2\\x^2+y^2-2hx-2ky+h^2+k^2-r^2&=0\end{aligned}\]

Para simplificar la ecuación resultante, se realizan los siguientes cambios de variable:

\[\begin{aligned}A&=-2h\\B&=-2k\\C&=h^2+k^2-r^2\end{aligned}\]

De este modo, la ecuación general de la circunferencia con centro fuera del origen queda definida de la siguiente manera:

\[x^2+y^2+Ax+By+C=0\]

Por ejemplo, si la ecuación de una circunferencia con centro fuera del origen está definida como (x-9)2+(y-1)2=25, entonces la ecuación general se obtiene desarrollando los binomios al cuadrado, igualando a cero la ecuación y simplificando la ecuación resultante.

Al desarrollar los binomios al cuadrado de la ecuación (x-9)2+(y-1)2=25, se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}(x-9)^2&=(x-9)(x-9)\\&=x^2-9x-9x+81\\&=x^2-18x+81\\(y-1)^2&=(y-1)(y-1)\\&=y^2-y-y+1\\&=y^2-2y+1\end{aligned}\]

Al sustituir el desarrollo de los binomio al cuadrado en la ecuación, se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}(x-9)^2+(y-1)^2&=25\\(x^2-18x+81)+(y^2-2y+1)&=25\end{aligned}\]

Al igualar a cero y simplificar la ecuación, se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}(x^2-18x+81)+(y^2-2y+1)&=25\\(x^2-18x+81)+(y^2-2y+1)-25&=0\\x^2+y^2-18x-2y+81+1-25&=0\\x^2+y^2-18x-2y+57&=0\end{aligned}\]

Por lo tanto, la ecuación general de la circunferencia está definida como x2+y2-18x-2y+57=0.

Para más información acerca del tema, puedes consultar el artículo "Ecuación general de una circunferencia" del sitio Geogebra .