Función primitiva o antiderivada

Una función F(x) se denomina función primitiva o antiderivada de la función f(x) si la derivada de F(x) es igual a f(x).

Matemáticamente, F(x) es una función primitiva de f(x) si se cumple la siguiente igualdad:

\[\frac{d}{dx}F(x)=f(x)\]

Por ejemplo, la función seno, definida como F(x)=sen(x), es una función primitiva de la función coseno f(x)=cos(x), ya que la derivada de la función seno es la función coseno. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=\frac{d}{dx}\sin(x)\\&=\cos(x)\\&=f(x)\end{aligned}\]

Tabla de contenido

Definición de función primitiva
Ejemplos funciones primitivas
Infinitas primitivas
Notación de la primitiva
Relación con la integral definida y el teorema fundamental del cálculo
Preguntas frecuentes sobre funciones primitivas

Definición de función primitiva

Sean F(x) y f(x) dos funciones definidas sobre un mismo intervalo cerrado [a, b]. Se dice que F(x) es una función primitiva de la función f(x) si, y sólo si, la derivada de F(x) es igual a f(x). Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\frac{d}{dx}F(x)=f(x)\]

definición de función primitiva o antiderivada

Por ejemplo, la función cuadrática, definida como F(x)=ax²+bx+d es una función primitiva de la función lineal f(x)=2ax+b, ya que la derivada de F(x) es igual a f(x). Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=\frac{d}{dx}\left(ax^2+bx+d\right)\\&=2ax+b\\&=f(x)\end{aligned}\]

Ejemplos funciones primitivas

La función f(x)=e^x tiene como función primitiva a la función F(x)=e^x, ya que se cumple la siguiente igualdad:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=\frac{d}{dx}e^x\\&=e^x\\&=f(x)\end{aligned}\]

Para la función f(x)=1/x, su primitiva es la función logaritmo natural, la cual está definida como F(x)=ln(x), ya que se cumple la siguiente igualdad:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=\frac{d}{dx}\ln(x)\\&=\frac{1}{x}\\&=f(x)\end{aligned}\]

Infinitas primitivas

La función primitiva F(x) de una función f(x) es única salvo por una constante. En otras palabras, si F(x) es una función primitiva de f(x), entonces existen infinitas primitivas de f(x), todas de la forma F(x)+C, donde "C "es una constante de valor real.

Es decir, basta con sumar una constante "C" a una primitiva para obtener otra primitiva de la misma función. Para los infinitos valores que puede tomar dicha constante, se obtiene una familia de funciones primitivas cuya derivada es igual a la función f(x).

Por ejemplo, para la función coseno, definida como f(x)=cos(x), una de sus funciones primitivas es la función seno, F(x)=sen(x). Sin embargo, al agregar cualquier constante "C" a esta primitiva, se genera una familia de primitivas, todas ellas de la forma F(x)=sen(x)+C.

En general, si F(x) es una función primitiva de la función f(x), es decir, si la derivada de F(x) es igual a f(x), entonces F(x)+C también es una función primitiva de f(x), ya que al derivar F(x)+C, se obtiene nuevamente la función f(x). Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}\left[f(x)+c\right]&=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}c\\&=f(x)+0\\&=f(x)\end{aligned}\]

Notación de la primitiva

Al conjunto de las infinitas primitivas de una función f(x) se le denomina integral indefinida, y se expresa de la siguiente manera:

\[\int f(x)\,dx=f(x)+c\]

Relación con la integral definida y el teorema fundamental del cálculo

La integral indefinida representa la familia de todas las funciones primitivas de una función dada. En contraste, la integral definida calcula el área bajo la curva de f(x) entre dos puntos a y b

El teorema fundamental del cálculo conecta estos conceptos, estableciendo que la integral definida de f(x) en el intervalo cerrado [a, b] se puede calcular usando una de sus primitivas f(x):

\[\int_a^b f(x)\,dx=f(b)-f(a)\]

Preguntas frecuentes sobre funciones primitivas

¿Qué es una función primitiva o antiderivada?

Una función primitiva, también conocida como antiderivada, es una función F(x) cuya derivada es igual a una función dada f(x). Es decir, si se cumple que F'(x)=f(x), entonces F(x) es una primitiva de f(x).

¿Cuál es la diferencia entre una integral indefinida y una integral definida?

La integral indefinida es el conjunto de todas las funciones primitivas de una función f(x). En cambio, la integral definida es el área bajo la curva de la función f(x) entre dos límites, conocidos como límites de integración. El resultado de una integral indefinida es una familia de funciones que difieren entre sí en una constante, mientras que el de una integral definida es un valor numérico que representa dicho valor del área.

¿Por qué es importante calcular antiderivadas?

Calcular antiderivadas es esencial en diversas áreas de las matemáticas y la física, ya que permiten determinar funciones originales a partir de sus tasas de cambio. Esto es útil para resolver problemas relacionados con áreas bajo curvas, volúmenes, movimientos, crecimiento poblacional y en la resolución de ecuaciones diferenciales.

¿Qué relación existe entre derivadas e integrales?

La derivación y la integración son procesos inversos. Mientras que la derivada de una función mide su tasa de cambio instantánea, la integral (o antiderivada) busca la función original a partir de su derivada. El teorema fundamental del cálculo establece esta conexión, indicando que la derivada de la integral de una función devuelve la función original.