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Integral indefinida

Partes de la integral indefinida

La integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de las infinitas primitivas F(x)+C que puede tener la función f(x).

Tabla de contenido

Primitiva o antiderivada de una función

Una función F(x) se denomina función primitiva o antiderivada de la función f(x) si la derivada de la función primitiva F(x) es igual a la función f(x).

\[\frac{d}{dx}F(x)=f(x)\]

Por ejemplo, la función F(x) definida como F(x)=x2 es una función primitiva de la función f(x)=2x, ya que, al derivar la función F(x)=x2, se obtiene la función f(x)=2x.

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=\frac{d}{dx}x^2\\&=2\cdot x^{2-1}\\&=2\cdot x^1\\&=2\cdot x\\&=2x\\&=f(x)\end{aligned}\]

Infinitas primitivas

Si una función f(x) tiene primitiva, es decir, existe su función primitiva F(x), entonces tiene infinitas primitivas, todas ellas de la forma F(x)+C.

Por ejemplo, observa que la función F(x) definida como F(x)=x2+3 también es una función primitiva de la función f(x)=2x , ya que, al derivar la función F(x)=x2+3, se obtiene nuevamente la función f(x)=2x.

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}F(x)&=\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right)\\&=\frac{d}{dx}x^2+\frac{d}{dx}3\\&=2\cdot x^{2-1}+0\\&=2\cdot x^1\\&=2\cdot x\\&=2x\\&=f(x)\end{aligned}\]

Es decir, tanto F(x)=x2 como F(x)=x2+3 son funciones primitivas de la función f(x)=2x.

En general, si F(x) es una función primitiva de la función f(x), es decir, la derivada de la función F(x) es igual a la función f(x), entonces F(x)+C también es una función primitiva de la función f(x), ya que, al derivar la función F(x)+C, se obtiene nuevamente la función f(x).

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}\left[F(x)+C\right]&=\frac{d}{dx}F(x)+\frac{d}{dx}C\\&=f(x)+0\\&=f(x)\end{aligned}\]

En otras palabras, si una función f(x) tiene primitiva, entonces tiene infinitas primitivas, todas ellas de la forma F(x)+C, diferenciándose todas ellas en al menos una constante C.

Definición de integral indefinida

Al conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función f(x) se le denomina integral indefinida de la función. Esta se representa de la siguiente manera:

\[\int f(x)dx=F(x)+C\]

Se lee como: "La integral indefinida de la función f(x) con respecto a x".

Partes de la integral indefinida

El símbolo ∫ es el símbolo de integración. A la función f(x) se le denomina integrando, mientras que "dx" es el diferencial de la variable "x" e indica la variable respecto a la que se está integrando la función.

A la función F(x) se le denomina primitiva o antiderivada de la función f(x) y al término constante "C" se le denomina constante de integración.

partes de una integral indefinida: Símbolo de integral, integrando, diferencial, primitiva y constante de integración.

Si F(x) es una función primitiva de la función f(x), entonces la integral indefinida de la función f(x) es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener la función f(x). Esta se representa de la siguiente manera:

\[\int f(x)dx=F(x)+C\]

Para comprobar que una función F(x) es una función primitiva de la función f(x), basta con calcular su derivada. Es decir, si la integral indefinida de una función f(x) es igual a una función F(x)+C, entonces debe cumplirse que la derivada de la función F(x)+C sea igual a la función f(x). Matemáticamente, debe cumplirse lo siguiente:

\[\frac{d}{dx}\left(F(x)+C\right)=f(x)\]

Por ejemplo, la integral indefinida de la función f(x)=4x3 es igual a F(x)=x4+C, ya que, al derivar la función F(x)=x4+C, se obtiene como resultado la función f(x)=4x3.

Por lo tanto, la integral indefinida de la función f(x)=4x3 se expresa de la siguiente manera:

\[\int{4x^3}=x^4+C\]

De manera similar, la integral indefinida de la función coseno, definida como g(x)=cos(x), es igual a la función seno definida como G(x)=sin(x)+C, ya que la derivada de la función seno es igual a la función coseno y la derivada de una constante es igual a cero.

Por lo tanto, la integral indefinida de la función coseno se expresa de la siguiente manera:

\[\int{\cos{(x)}}=\sin{(x)}+c\]

En conclusión, al cálculo de primitivas o antiderivadas de una función se le denomina integración.

Es importante destacar que, a diferencia de la integral definida, que da como resultado un número, una integral indefinida da como resultado una familia de funciones, todas ellas de la forma F(x)+C.

Videoclase sobre la integral indefinida de una función

Preguntas frecuentes

¿Qué es la integración?

Integrar es el proceso recíproco de derivar una función. Es decir, dada una función f(x), se busca encontrar el conjunto de funciones de la forma F(x)+C tales que, al derivarlas, den como resultado la función f(x).

¿Qué es una integral indefinida?

La integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de las infinitas primitivas F(x)+C que puede tener la función f(x). La integral indefinida de la función f(x) se representa como ∫f(x)dx=F(x)+C.

¿Cuáles son las partes de una integral indefinida?

Las partes de una integral indefinida son el signo de integral ∫, el integrando f(x), el diferencial dx, la antiderivada F(x) y la constante de integración C.

¿Cómo se simboliza la integral indefinida?

El símbolo de la integral indefinida es una "S" alargada ∫, en referencia a "suma", ya que, en general, la integral representa una suma continua de infinitesimales.