Integral indefinida
La integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de las infinitas primitivas F(x)+C que puede tener la función f(x). Matemáticamente, esto se expresa como:
A continuación, veamos qué es una función primitiva o antiderivada de una función.
Primitiva o antiderivada de una función
Una función F(x) se denomina función primitiva o antiderivada de la función f(x) si la derivada de la función primitiva F(x) es igual a la función f(x), es decir, si se cumple que:
Por ejemplo, la función F(x) definida como F(x)=x2 es una función primitiva de la función f(x)=2x, ya que, al derivar la función primitiva F(x)=x2 se obtiene como resultado la función f(x)=2x. Matemáticamente, se cumple que:
Si una función f(x) tiene primitiva, es decir, existe su función primitiva F(x), entonces tiene infinitas primitivas, todas ellas de la forma F(x)+C, donde C es un término constante.
Por ejemplo, la función F(x) definida como F(x)=x2+3 también es una función primitiva de la función f(x)=2x , ya que la derivada de la función primitiva F(x)=x2+3 es igual a la función f(x)=2x. Matemáticamente, se cumple que:
Como se puede observar, F(x)=x2 y F(x)=x2+3 son funciones primitivas de la función f(x)=2x.
En general, si F(x) es una función primitiva de la función f(x), entonces F(x)+C también es una función primitiva de la función f(x), en la que el término constante C puede tomar cualquier valor real.
En otras palabras, si una función f(x) tiene primitiva, entonces tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en al menos una constante.
Definición de integral indefinida
Al conjunto de infinitas primitivas se le denomina integral indefinida de la función f(x) y se representa como:
¿Qué es la integración?
Integrar es el proceso recíproco de derivar una función. En otras palabras, dada una función f(x), se busca encontrar el conjunto de funciones de la forma F(x)+C tales que, al derivarlas, den como resultado la función f(x).
Al conjunto de funciones F(x)+C se le denomina integral indefinida de la función f(x). Matemáticamente, esto se expresa como:
El primer miembro de esta igualdad se lee como: "La integral indefinida de la función f(x) con respecto a x".
El símbolo ∫ es el símbolo de integración. A la función f(x) se le denomina integrando, mientras que "dx" es el diferencial de x e indica la variable respecto a la que se está integrando la función.
A la función F(x) se le denomina primitiva de la función f(x), y al término constante C se le denomina constante de integración.
Para comprobar que una función F(x)+C es una función primitiva de la función f(x), basta con calcular su derivada.
En otras palabras, si la integral indefinida de una función f(x) es igual a una función F(x)+C, entonces debe cumplirse que la derivada de la función F(x)+C sea igual a la función f(x). Matemáticamente, debe cumplirse que:
Por ejemplo, la integral indefinida de la función f(x)=4x3 es igual a F(x)=x4+C, ya que al derivar la función F(x)=x4+C se obtiene como resultado la función f(x)=4x3. Por lo tanto, esta integral indefinida se representa como:
De manera similar, la integral indefinida de la función coseno, definida como g(x)=cos(x), es igual a la función seno, definida como G(x)=sin(x)+C, ya que la derivada de la función seno es igual a la función coseno. De tal manera que esta integral indefinida se expresa como:
Por lo tanto, al cálculo de primitivas o antiderivadas de una función se le denomina integración. Es importante destacar que una integral definida es un número, mientras que una integral indefinida es una función o una familia de funciones. A continuación, puedes consultar las propiedades de la integral indefinida.
Para más información acerca del tema, puedes consultar el artículo Integración indefinida del portal Superprof.