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Magnitud de un vector

magnitud de un vector

La magnitud o módulo de un vector es la distancia entre su punto inicial y su punto final.

La magnitud de un vector A se denota como ||A|| o, más comúnmente, como |A|.

Tabla de contenido

Magnitud de un vector en dos dimensiones

La magnitud de un vector en dos dimensiones, definido como A=(ax, ay), está dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes:

\[|A|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\]

Por ejemplo, para un vector A definido como A=(3, 4), su magnitud se obtiene al calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

En este caso, las componentes del vector son ax=3 y ay=4, por lo que la magnitud se determina de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}|A|&=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\\&=\sqrt{3^2+4^2}\\&=\sqrt{9+16}\\&=\sqrt{25}\\&=25\end{aligned}\]

Por lo tanto, la magnitud del vector A=(3,4) es igual a 5 unidades de longitud.

Para un vector A en dos dimensiones definido como A=a1i+a2j, su magnitud está dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los componentes del vector en las direcciones “x” y “y”:

\[|A|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\]

Por ejemplo, para un vector A definido como A=2i+5j, su magnitud se obtiene al calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes del vector en las direcciones “x” y “y”.

En este caso las componentes del vector en las direcciones “x” y “y” son 2 y 5, respectivamente, por lo que la magnitud se determina de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}|A|&=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\\&=\sqrt{2^2+5^2}\\&=\sqrt{4+25}\\&=\sqrt{29}\end{aligned}\]

Por lo tanto, la magnitud del vector A=2i+5j es igual a √29 unidades de longitud.

Magnitud de un vector en tres dimensiones

La magnitud de un vector en tres dimensiones, definido como A=(ax, ay, az), se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus tres componentes. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[|A|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\]

Por ejemplo, para un vector A definido como A=(2, 1, -2), su magnitud de obtiene al calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus 3 componentes.

En este caso, las componentes de dicho vector son ax=2, ay=1 y az=-2, por lo que la magnitud se determina de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}|A|&=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\\&=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}\\&=\sqrt{4+1+4}\\&=\sqrt{9}\\&=3\end{aligned}\]

Por lo tanto, la magnitud del vector A=(2, 1, -2) es igual a 3 unidades de longitud.

Para un vector A en tres dimensiones definido como A=a1i+a2j+a3k, su magnitud está definida como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes en las direcciones “x”, “y” y “z”:

\[|A|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\]

Por ejemplo, para un vector A en tres dimensiones definido como A=3i+4j-5k, su magnitud se obtiene al calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes en las direcciones “x”, “y” y "z".

En este caso las componentes del vector en las direcciones “x”, “y” y “z” son 3, 4 y -5, respectivamente.

\[\begin{aligned}|A|&=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3z}\\&=\sqrt{3^2+4^2+(-5)^2}\\&=\sqrt{9+16+25}\\&=\sqrt{50}\end{aligned}\]

Por lo tanto, la magnitud del vector A=3i+4j-5k es igual a √50 unidades de longitud.

Magnitud de un vector en n dimensiones

La magnitud de un vector es una medida de su tamaño o longitud en el espacio. Representa la distancia desde el origen hasta el punto final del vector, sin considerar su dirección.

Matemáticamente, si A es un vector en "n" dimensiones, definido como: A=(a1, a2, …, an), su magnitud, denotada como ||A|| o simplemente como |A|, se calcula mediante la norma euclidiana:

\[|\vec{A}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}\]

Fórmula de magnitud de un vector

Para un vector A cuyo punto inicial es un punto P de coordenadas (x1, y1) y cuyo punto final es un punto Q de coordenadas (x2, y2), la fórmula para hallar su magnitud es la misma que la fórmula de la distancia entre dos puntos, la cual está definida de la siguiente manera:

\[d(P, Q)= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Por lo tanto, la magnitud de un vector A que va de un punto inicial P de coordenadas (x1, y1) hacia un punto Q de coordenadas (x2, y2) está definida de la siguiente manera:

\[|A|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Por ejemplo, la magnitud de un vector A que va del punto P de coordenadas (3, -2) hacia el punto Q de coordenadas (1, 2) es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias entre sus coordenadas correspondientes:

\[\begin{aligned}|A|&=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}\\&=\sqrt{(1-3)^2+(2-(-2))^2}\\&=\sqrt{(1-3)^2+(2+2)^2}\\&=\sqrt{(-2)^2+4^2}\\&=\sqrt{4+16}\\&=\sqrt{20}\end{aligned}\]

Por lo tanto, la magnitud de un vector A que va del punto P de coordenadas (3, -2) hacia el punto Q de coordenadas (1, 2) es igual a √20 unidades de longitud.

La fórmula para calcular la magnitud de un vector A en tres dimensiones que va de un punto inicial P de coordenadas (x1, y1, z1) hacia un punto terminal Q de coordenadas (x2, y2, z2) está definida como:

\[|A|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]

Por ejemplo, la magnitud de un vector A cuyos puntos inicial y terminal son (1, 3, 2) y (5, 7, 6), respectivamente, se obtiene al calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias entre sus coordenadas correspondientes:

\[\begin{aligned}|A|&=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}\\&=\sqrt{(5-1)^2+(7-3)^2+(6-2)^2}\\&=\sqrt{4^2+4^2+4^2}\\&=\sqrt{16+16+16}\\&=\sqrt{3\cdot 16}\\&=\sqrt{3}\cdot\sqrt{16}\\&=4\sqrt{3}\end{aligned}\]

Por lo tanto, la magnitud de un vector A cuyos puntos inicial y terminal son (1, 3, 2) y (5, 7, 6), respectivamente, es igual a 4√3 unidades de longitud.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la magnitud de un vector?

La magnitud o módulo de un vector A es la longitud de dicho vector. Se denota como |A| y está definida como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

¿Cómo se calcula la magnitud de un vector?

La fórmula para calcular la magnitud de un vector en dos dimensiones, definido como A=(ax, ay), es: |A|=√(ax²+ay²). Por otro lado, la fórmula para hallar la magnitud de un vector en tres dimensiones, definido como A=(ax, ay, az), es: |A|=√(ax²+ay²+az²).