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Operaciones con funciones: suma, resta, multiplicación y división

operaciones con funciones: Suma, resta, multiplicación y división de funciones

Las operaciones con funciones son la suma, la resta, la multiplicación y la división de funciones.

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo; se definen las siguientes operaciones con funciones:

OperaciónExpresión
Suma(f+g)(x)=f(x)+g(x)
Resta(f-g)(x)=f(x)-g(x)
Multiplicación(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)
División(f/g)(x)=f(x)/g(x)
Tabla de contenido

Suma de funciones

La suma de funciones es una operación matemática que consiste en combinar dos o más funciones en una sola función.

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo. La suma de estas funciones es una nueva función h(x), definida de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}h(x)&=(f+g)(x)\\&=f(x)+g(x)\end{aligned}\]

Propiedades de la suma de funciones

Propiedad conmutativa: La suma de funciones es conmutativa. Esta propiedad establece que el orden en el que se suman las funciones no afecta el resultado. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[f(x)+g(x)=g(x)+f(x)\]

Propiedad asociativa: La suma de funciones es asociativa. Esta propiedad establece que, cuando se suman tres funciones, la forma en que se agrupan para calcular la suma no afecta el resultado. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\left[f(x)+g(x)\right]+p(x)=f(x)+\left[g(x)+p(x)\right]\]

Dominio de la suma de funciones

El dominio de la suma de dos funciones f(x) y g(x) es la intersección de los dominios de estas funciones. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\text{Dom}_{h(x)}&=\text{Dom}_{(f+g)}\\&=\text{Dom}_{f}\cap\text{Dom}_{g}\end{aligned}\]

Si la intersección de los dominios de f(x) y g(x) es el conjunto vacío, entonces la función suma h(x)=f(x)+g(x) no está definida. Es decir, h(x)=f(x)+g(x) únicamente está definida para los valores de “x” en los que ambas funciones f(x) y g(x) estén definidas.

Ejemplos de la suma de funciones

Ejemplo 1. Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas como f(x)=5x2+2x+1 y g(x)=x2-2x. De acuerdo con la definición de suma de funciones, la suma (f+g)(x) de estas funciones queda definida de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}h(x)&=(f+g)(x)\\&=f(x)+g(x)\\&=(5x^2+2x+1)+(x^2-2x)\\&=5x^2+2x+1+x^2-2x\\&=6x^2+1\end{aligned}\]

El dominio de esta función h(x)=6x2+1 es la intersección del dominio de la función f(x)=5x2+2x+1 y el dominio de la función g(x)=x2-2x. Como ambas funciones están definidas en el conjunto de todos los números reales, la intersección de sus dominios es también el conjunto de todos los números reales.

Por lo tanto, el dominio de la función h(x)=6x2+1 es el conjunto de los números reales.

Resta de funciones

La resta de funciones es una operación matemática que, al igual que la suma de funciones, permite combinar dos o más funciones en una nueva función.

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo. La resta de estas funciones es una nueva función h(x), definida de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}h(x)&=(f-g)(x)\\&=f(x)-g(x)\end{aligned}\]

Propiedades de la resta de funciones

Propiedad no conmutativa: La resta de funciones no es conmutativa. Esta propiedad establece que el orden en que se restan las funciones sí influye en el resultado, es decir, si se cambia el orden en la resta de funciones, se obtiene un resultado diferente. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[f(x)-g(x)\neq g(x)-f(x)\]

Propiedad no asociativa: La resta de funciones no es asociativa. Esta propiedad establece que, cuando se restan tres funciones, la forma en que se agrupan para calcular la resta sí influye en el resultado. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\left[f(x)-g(x)\right]-p(x)\neq f(x)-\left[g(x)-p(x)\right]\]

Dominio de la resta de funciones

El dominio de la resta de dos funciones f(x) y g(x) es la intersección de los dominios de estas funciones. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\text{Dom}_{h(x)}&=\text{Dom}_{(f-g)}\\&=\text{Dom}_{f}\cap\text{Dom}_{g}\end{aligned}\]

Si la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x) es el conjunto vacío, entonces la resta f(x)-g(x) no está definida. En otras palabras, h(x)=f(x)-g(x) sólo está definida para aquellos valores de “x” donde ambas funciones f(x) y g(x) están definidas.

Ejemplos de la resta de funciones

Ejemplo 1. Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas como f(x)=x2+3x y g(x)=x+2. De acuerdo con la definición de resta de funciones, la resta (f-g)(x) de estas funciones se define de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}h(x)&=(f-g)(x)\\&=f(x)-g(x)\\&=(x^2+3x)-(x+2)\\&=x^2+3x-x-2\\&=x^2+2x-2\end{aligned}\]

El dominio de esta función h(x)=x2+2x-2 es la intersección del dominio de la función f(x)=x2+3x y el dominio de la función g(x)=x+2. Dado que ambas funciones están definidas en el conjunto de todos los números reales, entonces la intersección de sus dominios también es el conjunto de todos los números reales.

Por lo tanto, el dominio de la función h(x)=x2+2x-2 es el conjunto de todos los números reales.

Multiplicación de funciones

La multiplicación de funciones es una operación matemática en la que se combinan dos o más funciones mediante el producto de sus reglas de correspondencia para obtener una nueva función.

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo. La multiplicación de estas funciones es una nueva función h(x), definida de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}h(x)&=(f\cdot g)(x)\\&=f(x)\cdot g(x)\end{aligned}\]

Propiedades de la multiplicación de funciones

Propiedad conmutativa: La multiplicación de funciones es conmutativa. Esta propiedad establece que el orden en el que se multiplican las funciones no afecta el resultado. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[f(x)\cdot g(x)=g(x)\cdot f(x)\]

Propiedad asociativa: La multiplicación de funciones es asociativa. Esta propiedad establece que, cuando se multiplican tres funciones, la forma en que se agrupan no afecta el resultado. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\left[f(x)\cdot g(x)\right]\cdot p(x)=f(x)\cdot\left[g(x)\cdot p(x)\right]\]

Propiedad distributiva: La multiplicación de funciones es distributiva respecto a la suma de funciones. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[f(x)\cdot\left[g(x)+h(x)\right]=f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot h(x)\]

Dominio de la multiplicación de funciones

El dominio de la multiplicación de dos funciones f(x) y g(x) es la intersección de los dominios de f(x) y g(x). Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\text{Dom}_{h(x)}&=\text{Dom}_{(f\cdot g)}\\&=\text{Dom}_{f}\cap\text{Dom}_{g}\end{aligned}\]

Si la intersección de los dominios de f(x) y g(x) es el conjunto vacío, entonces la multiplicación de funciones no está definida. En otras palabras, la multiplicación de funciones f(x)⋅g(x) únicamente está definida para aquellos valores de “x” donde ambas funciones f(x) y g(x) estén definidas.

Ejemplos de la multiplicación de funciones

Ejemplo 1. Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas como f(x)=4x y g(x)=x2-1. De acuerdo con la definición de multiplicación de funciones, la multiplicación (f⋅g)(x) queda definida de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}h(x)&=(f\cdot g)(x)\\&=f(x)\cdot g(x)\\&=(4x)\cdot (x^2-1)\\&=4x\cdot x^2+4x\cdot (-1)\\&=4x^3-4x\end{aligned}\]

El dominio de esta función h(x)=4x3-4x es la intersección del dominio de la función f(x)=4x y el dominio de la función g(x)=x2-1. Como ambas funciones están definidas en el conjunto de todos los números reales, la intersección de sus dominios es también el conjunto de todos los números reales.

Por lo tanto, el dominio de la función h(x)=4x3-4x es el conjunto de los números reales.

División de funciones

La división de funciones es una operación matemática en la que una función se divide entre otra para formar una nueva función.

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo. La división de estas funciones es una nueva función h(x), definida de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}h(x)&=\left(\frac{f}{g}\right)(x)\\&=\frac{f(x)}{g(x)}\end{aligned}\]

Dominio de la división de funciones

El dominio de la división de dos funciones f(x) y g(x) es la intersección de los dominios de dichas funciones f(x) y g(x), excluyendo los valores de “x” para los que la función g(x) es igual a cero. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[Dom_{(f/g)}=\left(Dom_{f}\cap Dom_{g}\right)-\left\lbrace x |g(x)=0\right\rbrace\]

En otras palabras, la división estará definida sólo para aquellos valores de “x” en los que ambas funciones f(x) y g(x) estén definidas y en los que g(x) sea diferente de cero.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la suma de funciones?

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo. Se denomina suma de funciones, y se representa por f(x)+g(x), a la función h(x) definida como: h(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x).

¿Qué es la resta de funciones?

Dadas dos funciones f(x) y g(x) definidas en un mismo intervalo, se denomina resta de funciones, y se representa por f(x)-g(x), a la función h(x) definida como: h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x).

¿Qué es la multiplicación de funciones?

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo. Se denomina multiplicación de funciones, y se representa por f(x)⋅g(x), a la función h(x) definida como: h(x)=(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x).

¿Qué es la división de funciones?

Dadas dos funciones f(x) y g(x) definidas en un mismo intervalo, se denomina división de funciones, y se representa por f(x)/g(x), a la función h(x) definida como: h(x)=(f/g)(x)=f(x)/g(x), siempre que la función g(x) sea diferente de cero para todo valor de “x”.