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Pendiente de una recta que pasa por dos puntos

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo α que forma la recta con la dirección positiva del eje horizontal "x" en el plano cartesiano. Se denota con la letra "m" y, matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

\[m=\tan(\alpha)\]

La fórmula para calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos está definida como m=(y2-y1)/(x2-x1).

\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
Tabla de contenido

Pendiente positiva

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje horizontal "x" es mayor que 0° y menor que 90° (ángulo agudo), entonces la pendiente de la recta es positiva. En este caso, la recta se extiende desde el tercer cuadrante hacia el primer cuadrante en el plano cartesiano.

Cuando la pendiente de una recta es positiva, la recta es creciente. Esto significa que, a medida que el valor de "x" aumenta, también lo hace el valor de "y".

Pendiente negativa

Si el ángulo que forma una recta con la parte positiva del eje horizontal "x" es mayor que 90° y menor que 180° (ángulo obtuso), entonces la pendiente de la recta es negativa. En este caso, la recta se extiende desde el segundo cuadrante hacia el cuarto cuadrante en el plano cartesiano.

Cuando la pendiente de una recta es negativa, la recta es decreciente. Esto significa que, a medida que el valor de "x" aumenta, el valor de "y" disminuye.

Pendiente cero

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje horizontal “x” es igual a 0° (ángulo nulo), entonces la pendiente de la recta es igual a cero.

Cuando la pendiente de una recta es igual a cero, la recta es una línea horizontal paralela al eje “x”.

Pendiente indeterminada

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje horizontal “x” es igual a 90° (ángulo recto), entonces la pendiente de la recta es indeterminada.

Cuando la pendiente de una recta es indeterminada, la recta es una línea vertical paralela al eje “y”.

Pendiente de una recta que pasa por dos puntos

La fórmula para calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) está definida como:

\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Pendiente de la recta que pasa por dos puntos: ejemplos

Ejemplo 1: Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B, cuyas coordenadas son (-1, 6) y (5, -4), respectivamente.

Solución: Dado que se conocen las coordenadas de dos puntos por los que pasa la recta, entonces puede hallarse el valor de la pendiente utilizando la fórmula para calcular la pendiente de la recta que pasa por dos puntos, la cual está definida como:

\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Para determinar el valor de la pendiente, simplemente se sustituyen los valores de las coordenadas de los puntos en la fórmula.

Para el punto A, se tiene que x1=-1 y y1=6, y para el punto B se tiene que x2=5 y y2=-4. Al sustituir estos valores en la fórmula, se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}m&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\&=\frac{-4-6}{5-(-1)}\\&=\frac{-10}{5+1}\\&=\frac{-10}{6}\\&=-\frac{5}{3}\end{aligned}\]

Por lo tanto, la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-1, 6) y (5, -4) es igual a -5/3.

Ejemplo 2. Encuentra la pendiente de la recta que pasa a través de los puntos (-3, 17) y (4, 3).

Solución: Dado que se conocen las coordenadas de dos puntos por los que pasa la recta, se puede hallar la pendiente utilizando la fórmula para calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos, definida como:

\[m=\frac{y_2y_1}{x_2-x_1}\]

En este caso, los valores de las coordenadas del primer punto son x1=-3 y y1=17, y los valores de las coordenadas del segundo punto son x2=4 y y2=3. Al sustituir estos valores en la fórmula, se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}m&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\&=\frac{3-17}{4-(-3)}\\&=\frac{-14}{4+3}\\&=\frac{-14}{7}\\&=-\frac{14}{7}\\&=-2\end{aligned}\]

De esta manera se obtiene que la pendiente de la recta que pasa a través de los puntos (-3, 17) y (4, 3) es igual a -2.

Pendiente de una recta horizontal

Dos puntos se encuentran sobre una misma recta horizontal si sus coordenadas en "y" son iguales. Es decir, dos puntos A y B, con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2), respectivamente, están sobre una misma recta horizontal si y1=y2.

Ahora bien, sean A y B dos puntos sobre una misma recta horizontal, cuyas coordenadas son (x1, y1) y (x2, y1), respectivamente. Al sustituir las coordenadas de estos puntos en la fórmula para calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos, se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}m&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\&=\frac{y_1-y_1}{x_2-x_1}\\&=\frac{0}{x_2-x_1}\\&=0\end{aligned}\]

De esta manera, se concluye que la pendiente de una recta horizontal es igual a cero.

Pendiente de una recta vertical

Dos puntos se encuentran sobre una misma recta vertical cuando sus coordenadas en "x" son iguales. En otras palabras, dos puntos A y B, con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2), respectivamente, están sobre una misma recta vertical si x1=x2.

Ahora bien, sean A y B dos puntos sobre una misma recta vertical, cuyas coordenadas son (x1, y1) y (x1, y2), respectivamente. Al sustituir las coordenadas de estos puntos en la fórmula para calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos, se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}m&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\&=\frac{y_2-y_1}{x_1-x_1}\\&=\frac{y_2-y_1}{0}\end{aligned}\]

Dado que la división entre cero no está definida en el conjunto de los números reales, se concluye que la pendiente de una recta vertical es indefinida; es decir, es infinita o simplemente no existe.

Para más información acerca de la pendiente de una recta, puedes consultar el artículo "Pendiente de una recta en matemáticas" del sitio Superprof.