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Propiedades de la derivada

Lista completa de las reglas de la derivada

Las propiedades de la derivada son reglas matemáticas que simplifican el cálculo de la derivada de una función.

A continuación, presentamos cada una de las propiedades básicas de la derivada, así como lo que establece y cómo se aplica cada una de ellas para hallar la derivada de una función.

Tabla de contenido

Propiedad 1: Derivada de la función constante

Sea f(x) una función constante definida como f(x)=k, donde k es una constante. La derivada de la función constante es igual a cero. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}k\\&=0\end{aligned}\]

Propiedad 2: Derivada de la función identidad

Sea f(x) la función identidad definida como f(x)=x. La derivada de la función identidad es igual a uno. Matemáticamente, esto se representa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(x)&=\frac{d}{dx}x\\&=1\end{aligned}\]

Propiedad 3: Derivada de la función potencia

Sea f(x) la función potencia definida como f(x)=xn, donde n es un número real diferente de cero. La derivada de la función potencia f(x) está definida como:

\[\frac{d}{dx}x^n=n\cdot x^{n-1}\]

Esta propiedad establece que la derivada de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por la base de la potencia elevada al exponente menos una unidad.

Propiedad 4: Derivada de una suma

Dadas dos funciones f(x) y g(x) derivables en x, la derivada de la suma de estas funciones es igual a la suma de las derivadas. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\frac{d}{dx}\left[f(x)+g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)\]

Esta propiedad establece que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones.

Propiedad 5: Derivada de una resta

Dadas dos funciones f(x) y g(x) derivables en x, la derivada de la resta de estas funciones es igual a la resta de las derivadas. Matemáticamente, esto se expresa como:

\[\frac{d}{dx}\left[f(x)-g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x)\]

Esta propiedad establece que la derivada de una resta de funciones es igual a la resta de las derivadas de cada una de las funciones.

Propiedad 6: Derivada de un producto

Dadas dos funciones f(x) y g(x) derivables en x, la derivada del producto de estas dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\frac{d}{dx}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\left[\frac{d}{dx}f(x)\right]g(x)+f(x)\left[\frac{d}{dx}g(x)\right]\]

Esta propiedad establece que la derivada de un producto de dos funciones es igual a la suma del producto de la derivada de la primera función por la segunda función, más el producto de la primera función por la derivada de la segunda función.

Propiedad 7: Derivada de un cociente

Dadas dos funciones f(x) y g(x) derivables en “x” y g(x)≠0, la derivada del cociente de estas dos funciones se expresa de la siguiente manera:

\[\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\left[\frac{d}{dx}f(x)\right]g(x)-\left[\frac{d}{dx}g(x)\right]f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\]

Esta propiedad establece que la derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador multiplicada por el denominador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

Propiedad 8: Derivada de una constante por una función

Dada una función f(x) derivable en “x” y “k” una constante, la derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función. Matemáticamente, esto se representa de la siguiente manera:

\[\frac{d}{dx}\left[c\cdot f(x)\right]=c\cdot\left[\frac{d}{dx}f(x)\right]\]

Esta propiedad establece que la derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función. En otras palabras, un factor constante puede extraerse de la derivada.

En resumen

Las propiedades de la derivada son reglas que permiten calcular la derivada de una función. Las propiedades básicas son la derivada de una función constante, que siempre es igual a cero. La derivada de la función identidad f(x)=x, que siempre es igual a uno.

La derivada de una suma de funciones, que es igual a la suma de las derivadas de cada función, y la derivada de una resta de funciones, que es igual a la resta de las derivadas de cada función.

Además de estas se incluye la derivada de un producto de dos funciones que es igual a la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función, más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función.

La derivada de un cociente de dos funciones que es igual a la derivada del numerador multiplicada por el denominador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

También, la derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función.

Finalmente, una de las propiedades más importantes, la derivada de la función potencia f(x)=xn, que es igual al exponente multiplicado por la base de la potencia elevada al exponente menos una unidad.

Estas propiedades permiten calcular la derivada de una función de manera eficiente y sistemática.

Para más información acerca del tema, puedes consultar el artículo "Reglas de derivación" del portal Matemáticas en movimiento.