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Propiedades de la suma algebraica de fracciones

Lista completa de las propiedades de la suma de fracciones

La suma de fracciones es una operación algebraica que consiste en combinar dos o más fracciones para obtener una fracción equivalente, conocida como la suma de las fracciones. A continuación, veamos las propiedades de la suma de fracciones.

Tabla de contenido

Partes de una suma de fracciones

Las partes de una suma de fracciones son:

  • Signo de adición: El signo utilizado para indicar la suma de fracciones es el signo de adición “+”.
  • Sumandos: Los sumandos son las fracciones que aparecen separadas por el signo de adición “+”. Por ejemplo, en la suma 1/2+3/4, los sumandos son las fracciones 1/2 y 3/4.
  • Suma: La suma de las fracciones es la fracción que se obtiene como resultado de sumar las fracciones.

Propiedades de la suma de fracciones

La suma algebraica de fracciones tiene las siguientes propiedades:

  • Propiedad conmutativa
  • Propiedad asociativa
  • Propiedad del elemento neutro
  • Propiedad del elemento inverso

A continuación, veamos a detalle y con ejemplos en qué consiste cada una de las propiedades de la suma de fracciones.

Propiedad conmutativa de la suma de fracciones

La propiedad conmutativa de una suma de fracciones establece que el orden en el que se suman dos fracciones no afecta el resultado. Matemáticamente, dadas dos fracciones a/b y c/d, la propiedad conmutativa de la suma de fracciones establece que:

\[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}\]

Por ejemplo, considera las fracciones 1/3 y 2/5. Al realizar la suma de estas fracciones en el orden 1/3+2/5, se obtiene:

\[\begin{aligned}\frac{1}{3}+\frac{2}{5}&=\frac{1\cdot 5+2\cdot 3}{3\cdot 5}\\&=\frac{5+6}{15}\\&=\frac{11}{15}\end{aligned}\]

Es decir, la suma de las fracciones 1/3 y 2/5 en el orden 1/3+2/5 es igual a la fracción 11/15.

Ahora bien, al realizar la suma de las fracciones 1/3 y 2/5 en el orden 2/5+1/3, se obtiene:

\[\begin{aligned}\frac{2}{5}+\frac{1}{3}&=\frac{2\cdot 3+1\cdot 5}{5\cdot 3}\\&=\frac{6+5}{15}\\&=\frac{11}{15}\end{aligned}\]

Es decir, al sumar las fracciones 1/3 y 2/5 en el orden 2/5+1/3, se obtiene como resultado la fracción 11/15.

Como se puede observar, el resultado de la suma de las fracciones es el mismo independientemente del orden en el que se realice la suma.

Propiedad asociativa de la suma de fracciones

La propiedad asociativa de la suma de fracciones establece que la forma en la que se agrupan los sumandos de una suma de fracciones no afecta el resultado.

Matemáticamente, dadas tres fracciones a/b, c/d y e/f, la propiedad asociativa de la suma de fracciones establece que:

\[\begin{aligned}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f}&=\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)\\&=\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f}\end{aligned}\]

Por ejemplo, considera la suma de fracciones 1/2+1/3+1/4. De acuerdo con la propiedad asociativa de la suma de fracciones, los sumandos pueden agruparse en pares para agilizar el proceso de suma.

Al agrupar el segundo sumando con el tercer sumando de la suma 1/2+1/3+1/4, se obtiene lo siguiente:

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\]

Al desarrollar la suma agrupada 1/3+1/4, se obtiene:

\[\begin{aligned}\frac{1}{3}+\frac{1}{4}&=\frac{1\cdot 4+1\cdot 3}{3\cdot 4}\\&=\frac{4+3}{12}\\&=\frac{7}{12}\end{aligned}\]

De esta manera, la suma 1/2+1/3+1/4 se reduce a la suma 1/2+7/12. Al realizar la suma 1/2+7/12, se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}\frac{1}{2}+\frac{7}{12}&=\frac{1\cdot 12+7\cdot 2}{2\cdot 12}\\&=\frac{12+14}{24}\\&=\frac{26}{24}\\&=\frac{13}{12}\end{aligned}\]

Por lo tanto, la suma de las fracciones 1/2, 1/3 y 1/4 es igual a la fracción 13/12.

Ahora bien, al agrupar el primer sumando con el segundo sumando de la suma 1/2+1/3+1/4, se obtiene lo siguiente:

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\]

Al desarrollar la suma agrupada 1/2+1/3, se obtiene:

\[\begin{aligned}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}&=\frac{1\cdot 3+1\cdot 2}{2\cdot 3}\\&=\frac{3+2}{6}\\&=\frac{5}{6}\end{aligned}\]

De esta manera, la suma 1/2+1/3+1/4 se reduce a la suma 5/6+1/4. Al realizar la suma 5/6+1/4, se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}\frac{5}{6}+\frac{1}{4}&=\frac{5\cdot 4+1\cdot 6}{6\cdot 4}\\&=\frac{20+6}{24}\\&=\frac{26}{24}\\&=\frac{13}{12}\end{aligned}\]

De esta manera, se obtiene que la suma de las fracciones 1/2, 1/3 y 1/4 es nuevamente la fracción 13/12.

Como se puede observar, el resultado de la suma de las fracciones es el mismo independientemente de la forma en la que se agrupen los sumandos.

Propiedad del elemento neutro

La propiedad del elemento neutro establece que existe una fracción que, al sumarse con cualquier otra fracción, no cambia el valor de esa fracción.

El elemento neutro en las fracciones es la fracción 0/1.

Matemáticamente, esta propiedad establece que al sumar el elemento neutro (la fracción 0/1) a cualquier otra fracción a/b, se obtiene como resultado la misma fracción a/b, es decir:

\[\frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b}\]

Propiedad del elemento inverso

La propiedad del elemento inverso establece que para cada fracción a/b existe otra fracción tal que, al sumarse con la primera fracción, se obtiene como resultado el elemento neutro de la suma, es decir, se obtiene la fracción 0/1.

El inverso de la fracción a/b es la misma fracción, pero con el signo contrario, es decir, la fracción -a/b.

Matemáticamente, esta propiedad establece que, al sumar la fracción a/b con su inverso -a/b, se obtiene como resultado la fracción 0/1, es decir:

\[\frac{a}{b}+\left(-\frac{a}{b}\right)=\frac{0}{1}\]

Para más información acerca del tema, puedes consultar el artículo "Propiedades de la suma de fracciones" del portal Educapanama.