Propiedades de las desigualdades

Las propiedades de las desigualdades son un conjunto de reglas que establecen la relación de orden entre dos números reales al realizar operaciones en ambos miembros de la desigualdad matemática.

Desigualdad en matemáticas

En matemáticas, una desigualdad es una relación que compara dos valores, indicando que uno de ellos es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que el otro.

Si “a” y “b” son dos números reales, una desigualdad se expresa de la siguiente manera:

• a>b: se lee “a” es mayor que “b” y significa que el número real “a” es estrictamente mayor que el número real “b”.
• a<b: se lee “a” es menor que “b” y significa que el número real “a” es estrictamente menor que el número real “b”.
• a≥b: se lee “a” es mayor o igual que “b” y significa que el número real “a” es mayor que el número real “b”, pero también puede ser que ambos números sean iguales.
• a≤b: se lee “a” es menor o igual que “b” y significa que el número real “a” es menor que el número real “b”, pero también puede ser que ambos números sean iguales.

Propiedad de la tricotomía

La propiedad de la tricotomía establece que, para cualquier par de números reales “a” y “b”, existe una y solo una de las siguientes tres relaciones:

• a<b: “a” es menor que “b”.
• a=b: “a” es igual a “b”.
• a>b: “a” es mayor que “b”.

Por ejemplo, si “a” y “b” son dos números reales, tales que sí “a=5” y “b=8”, entonces, de acuerdo con la propiedad de la tricotomía, se obtiene lo siguiente:

• a<b: es verdadero, ya que 5 es menor que 8.
• a=b: es falso, ya que 5 es diferente de 8.
• a>b: es falso, ya que 5 no es mayor que 8.

Esto demuestra que solo una de las tres relaciones de orden es válida a la vez.

Propiedad transitiva

La propiedad transitiva de las desigualdades establece que, si un número es menor que un segundo, y ese segundo es menor que un tercero, entonces el primer número es menor que el tercero.

Sean “a”, “b” y “c” tres números reales tales que:

Por ejemplo, si 5 es menor que 9 (5<9) y 9 es menor que 11 (9<11), entonces, de acuerdo con la propiedad transitiva, se concluye que 5 es menor que 11 (5<11).

Propiedad de la suma

La propiedad de la suma establece que, si a ambos miembros de una desigualdad se les suma la misma cantidad, la desigualdad se conserva. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

Por ejemplo, considera la desigualdad 5<7. Al sumar 10 a ambos miembros, se obtiene lo siguiente:

Como resultado, la nueva desigualdad 15<17 conserva la relación de orden original. Es decir, en esta desigualdad el primer miembro sigue siendo menor que el segundo miembro.

Propiedad de la resta

La propiedad de la resta establece que, si a ambos miembros de una desigualdad se les resta la misma cantidad, la desigualdad se conserva. Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

Por ejemplo, considera la desigualdad 5<9. Al restar 3 a ambos miembros, se obtiene lo siguiente:

Esta desigualdad resultante (2<6) conserva la relación de orden original. Es decir, muestra que, después de restar la misma cantidad en ambos miembros, el primer miembro sigue siendo menor que el segundo.

Propiedad de la multiplicación por una cantidad positiva

La propiedad de la multiplicación por una cantidad positiva establece que, si a ambos miembros de una desigualdad se les multiplica por la misma cantidad positiva, la desigualdad se conserva. Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

Por ejemplo, considera la desigualdad -1<11. Al multiplicar ambos miembros por 5, se obtiene lo siguiente:

La desigualdad resultante -5<55 conserva la relación de orden original. Esto significa que el primer miembro sigue siendo menor que el segundo.

Propiedad de la multiplicación por una cantidad negativa

La propiedad de la multiplicación por una cantidad negativa establece que, si a ambos miembros de una desigualdad se les multiplica por la misma cantidad negativa, la desigualdad se invierte. Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

Por ejemplo, considera la desigualdad -3 < 5 . Al multiplicar ambos miembros por -5 , se obtiene lo siguiente:

La desigualdad resultante 15>-25 es verdadera, ya que 15 es mayor que -25. Esto muestra que, al multiplicar por un número negativo ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la desigualdad se invierte. En este caso, el primer miembro, que originalmente era menor, pasa a ser mayor que el segundo.

Propiedad de la división por una cantidad negativa

La propiedad de la división por una cantidad negativa establece que, si a ambos miembros de una desigualdad se les divide por la misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte. Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

Por ejemplo, considera la desigualdad 10<12. Si se divide a ambos miembros entre -2, se obtiene lo siguiente:

La desigualdad resultante -5>-6 es verdadera ya que -5 es mayor que -6. Esto demuestra que, al dividir por un número negativo, el primer miembro, que originalmente era menor, pasa a ser mayor que el segundo.

Propiedad del recíproco

La propiedad del recíproco establece que, al calcular el recíproco de ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la desigualdad se invierte, siempre y cuando los números sean diferentes de cero. Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

Por ejemplo, considera la desigualdad 3<4. Al calcular el recíproco de ambos miembros, se obtiene:

La desigualdad resultante 1/3>1/4 es verdadera, ya que 1/3 es mayor que 1/4. Esto confirma que, al invertir los valores, el sentido de la desigualdad también se invierte.

Propiedad de raíz cuadrada

La propiedad de la raíz cuadrada establece que, si se calcula la raíz cuadrada a ambos miembros de una desigualdad, la desigualdad se conserva.

Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera: sean “a” y “b” dos números reales mayores a cero, tales que: