Propiedades de los números reales

Los números reales forman un conjunto numérico que abarca todos los números que pueden representarse en la recta numérica. Este conjunto incluye números negativos y positivos, así como números enteros, fracciones, decimales, números racionales y números irracionales. Las propiedades básicas de los números reales relacionadas con las operaciones de suma y multiplicación son las siguientes:

• Propiedad de cerradura
• Propiedad conmutativa
• Propiedad asociativa
• Propiedad distributiva
• Propiedad del elemento neutro
• Propiedad del elemento inverso

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa es una de las propiedades básicas de los números reales. Esta propiedad establece que el orden de los números no afecta el resultado en operaciones tales como la suma y la multiplicación.

Propiedad conmutativa en la suma

La propiedad conmutativa de la suma establece que el orden en que se suman dos números reales no afecta el resultado. Es decir, si a y b son dos números reales, se cumple que: a+b=b+a.

Ejemplo, si a=7 y b=5, se cumple que 7+5=12 y 5+7=12. El orden de los sumandos no afecta el resultado de la suma.

Propiedad conmutativa en la multiplicación

La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que el orden en que se multiplican dos números reales no afecta el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, se cumple que: a×b=b×a.

Ejemplo, si a=3 y b=9, entonces 3×9=27 y 9×3=27. El orden de los factores no afecta el resultado de la multiplicación.

En resumen, la propiedad conmutativa es una regla básica de los números reales que establece que, al sumar o multiplicar dos números, el orden no modifica el resultado. En otras palabras, los números pueden intercambiarse de posición sin cambiar el resultado.

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa es otra de las propiedades básicas de los números reales. Esta propiedad establece que la forma en que se agrupan los números en una suma o una multiplicación no afecta el resultado.

Propiedad asociativa en la suma

La propiedad asociativa de la suma establece que, al sumar tres o más números reales, la forma en que se agrupan no afecta el resultado. Es decir, si a, b y c son tres números reales, se cumple que: (a+b)+c= a+(b+c).

Ejemplo, si a=3, b=5 y c=2, se cumple que (3+5)+2=8+2=10 y 3+(5+2)=3+7=10. En ambos casos, el resultado es el mismo. Es decir, la forma en que se agrupan los sumandos no afecta el resultado de la suma.

Propiedad asociativa en la multiplicación

La propiedad asociativa de la multiplicación establece que, al multiplicar tres o más números reales, la forma en que se agrupan no afecta el producto. Es decir, si a, b y c son tres números reales, se cumple que: (a×b)×c=a×(b×c).

Ejemplo, si a=2, b=4 y c=9, se cumple que (2×4)×9=8×9=72 y 2×(4×9)=2×36=72. El resultado es el mismo, independientemente de cómo se agrupan los factores. Es decir, el orden en el que se agrupen los factores no afecta el producto.

En resumen, la propiedad asociativa establece que, en las operaciones de suma y multiplicación, la forma en que se agrupen los números no afecta el resultado.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva es una más de las propiedades básicas de los números reales. Esta propiedad establece que la multiplicación de un número real puede distribuirse sobre una suma de números reales.

Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma establece que, multiplicar un número real por una suma de dos o más números reales es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos. Es decir, si a, b y c son tres números reales, se cumple que: a×(b+c)=a×b+a×c.

Por ejemplo, si a=2, b=3 y c=7, se cumple que 2×(3+7)= 2×10=20 y 2×3+2×7=6+14=20. El resultado es el mismo en ambos casos. Es decir, multiplicar un número por la suma de dos números es equivalente a sumar los productos de ese número por cada uno de los sumandos.

Propiedad del elemento neutro

La propiedad del elemento neutro es otra de las propiedades básicas de los números reales. Esta propiedad identifica los números reales que, al usarse en una operación matemática tales como la suma o la multiplicación, no alteran el valor del otro número involucrado en dicha operación. Estos números especiales se conocen como elementos neutros.

Propiedad del elemento neutro de la suma

El elemento neutro de la suma es el número cero. Esto significa que, al sumar cero a cualquier número real, el resultado es el mismo número real. Matemáticamente, si a es un número real, se cumple que: a+0=a.

Ejemplo, si a=11, entonces 11+0=11. De manera similar, si a=-7, entonces -7+0=-7. En ambos casos, sumar cero no altera el valor del número inicial. Es decir, si a cualquier número real se le suma cero, el resultado es el mismo número real. Por esta razón, al elemento neutro de la suma también se le denomina neutro aditivo.

Propiedad del elemento neutro en la multiplicación

El elemento neutro de la multiplicación es el número uno. Esto significa que, al multiplicar cualquier número real por uno, el resultado es el mismo número real. Matemáticamente, si a es un número real, se cumple que: a×1=a.

Por ejemplo, si a=9, entonces 9×1=9. De manera similar, si a=-2, entonces -2×1=-2. En ambos casos, multiplicar por uno no altera el valor del número inicial. Es decir, al multiplicar cualquier número real por uno, se obtiene como resultado el mismo número real. Por esta razón, al elemento neutro de la multiplicación también se le denomina neutro multiplicativo.

Propiedad del elemento inverso

La propiedad del elemento inverso es una de las propiedades básicas de los números reales. Esta propiedad identifica los números que, al combinarse con otro número mediante una operación, como la suma o la multiplicación, dan como resultado el elemento neutro correspondiente.

Propiedad del elemento inverso de la suma

El elemento inverso de la suma, también conocido como inverso aditivo, es un número real que, al sumarse con otro número real, da como resultado el elemento neutro de la suma, es decir, cero.

Para cualquier número real “a”, su inverso aditivo es “−a”, y cumple que: a+(-a)=0.

Por ejemplo, si a=8, su inverso aditivo es el número -8, ya que 8+(-8)=8-8=0. De manera similar, si a=-3, entonces su inverso aditivo es igual a 3, ya que -3+3=0. En general, el inverso aditivo de un número es su opuesto.

Propiedad del elemento inverso en la multiplicación

El elemento inverso de la multiplicación, también conocido como inverso multiplicativo o recíproco, es un número real que, al multiplicarse por otro número real, da como resultado el elemento neutro de la multiplicación, es decir, uno.

Para cualquier número real “a≠0”, su inverso multiplicativo es 1/a, y cumple que a×(1/a)=1.

Por ejemplo, si a=4, su inverso multiplicativo es el número 1/4, ya que 4×(1/4)=1. De manera similar, si a=-5, entonces su inverso multiplicativo es el número –(1/5), ya que -5×-(1/5)=1. En general, el inverso multiplicativo de un número es igual a 1 dividido entre el mismo número.

Es importante destacar que el inverso multiplicativo de cero no está definido, ya que no existe un número real que, al multiplicarlo por cero, dé como resultado 1.