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Propiedades del logaritmo natural

propiedades de los logaritmos naturales

Las propiedades del logaritmo natural son un conjunto de reglas que permiten simplificar expresiones matemáticas que involucran logaritmos naturales.

Estas reglas incluyen la simplificación de una suma de logaritmos naturales (propiedad del producto), una diferencia de logaritmos naturales (propiedad del cociente), y la multiplicación de una constante por un logaritmo natural (propiedad de la potencia).

Se denomina logaritmo natural al logaritmo cuya base es el número irracional “e” (número de Euler). El logaritmo natural de un número real “x” se denota como loge(x) o, más comúnmente, como ln(x).

\[\log_{e}(x)=\ln(x)\]
Tabla de contenido

Definición de logaritmo natural

Dado un número real “x” mayor que cero, el logaritmo natural de “x” es el exponente “y” al cual debe elevarse la base “e” para obtener como resultado el número “x”. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\ln(x)=y\Leftrightarrow e^y=x\]

Esta expresión se lee como: El logaritmo natural de “x” es igual a “y” si y solo si el número irracional “e” elevado al exponente “y” da como resultado el valor de “x”.

definición de logaritmo natural

Las propiedades del logaritmo natural se derivan a partir de esta definición y de las leyes de los exponentes. A continuación, se describen en detalle cuáles son y en qué consiste cada una de las propiedades de los logaritmos naturales.

Logaritmo natural de un producto

\[\ln(x \cdot y)=\ln(x)+\ln(y)\]

La propiedad del logaritmo natural de un producto establece que el logaritmo natural del producto de dos factores es igual a la suma de los logaritmos naturales de los factores individuales.

propiedad del logaritmo natural de un producto de factores

Por ejemplo, considera el logaritmo natural de 6. Dado que 6 es el producto de los factores 2 y 3, entonces este logaritmo puede reescribirse de la siguiente manera:

\[\ln(6)=\ln(2\cdot 3)\]

De acuerdo con la propiedad del logaritmo natural de un producto, el logaritmo natural del producto de dos factores es igual a la suma de los logaritmos naturales de esos factores. Así, el logaritmo natural de 6 es igual al logaritmo natural de 2 más el logaritmo natural de 3. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\ln(6)&=\ln(2\cdot 3)\\&=\ln(2)+\ln(3)\end{aligned}\]

La propiedad del logaritmo natural de un producto también se puede utilizar para simplificar una suma de logaritmos naturales. Por ejemplo, considera la siguiente suma de logaritmos naturales:

\[\ln(9)+\ln(2)\]

Como se trata de una suma de logaritmos naturales, es decir, una suma de logaritmos en la misma base (e), entonces, de acuerdo con la propiedad del logaritmo natural de un producto, esta suma es igual al logaritmo natural del producto de los argumentos de los logaritmos. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\ln(9)+\ln(2)&=\ln(9 \cdot 2)\\&=\ln(18)\end{aligned}\]

Logaritmo natural de un cociente

\[\ln{\left(\frac{x}{y}\right)}=\ln(x)-\ln(y)\]

La propiedad del logaritmo natural de un cociente establece que el logaritmo natural del cociente de dos números es igual al logaritmo natural del dividendo menos el logaritmo natural del divisor.

propiedad del logaritmo natural de un cociente

Por ejemplo, considera el logaritmo natural de 2/3. De acuerdo con la propiedad del logaritmo natural de un cociente, este es igual a la diferencia entre el logaritmo natural del dividendo y el logaritmo natural del divisor. Por lo tanto, el logaritmo natural de 2/3 es igual al logaritmo natural de 2 menos el logaritmo natural de 3. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\ln\left(\frac{2}{3}\right)=\ln(2)-\ln(3)\]

La propiedad del logaritmo natural de un cociente también se puede utilizar para simplificar una resta de logaritmos naturales. Por ejemplo, considera la siguiente resta de logaritmos:

\[\ln(8)-\ln(2)\]

Dado que se trata de una resta de logaritmos en la misma base (e), de acuerdo con la propiedad del logaritmo natural de un cociente, esta resta es igual al logaritmo natural del cociente de los argumentos de los logaritmos. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\ln(8)-\ln(2)&=\ln\left(\frac{8}{2}\right)\\&=\ln(4)\end{aligned}\]

Logaritmo natural de una potencia

\[\ln(x^n)=n\cdot\ln(x)\]

La propiedad del logaritmo natural de una potencia establece que el logaritmo natural de una potencia es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo natural de la base de la potencia.

propiedad del logaritmo natural de una potencia

Por ejemplo, considera el logaritmo natural de 53. De acuerdo con la propiedad del logaritmo natural de una potencia, el logaritmo natural de 53 es igual a 3 multiplicado por el logaritmo natural de 5. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\ln(5^3)=3\cdot\ln(5)\]

La propiedad del logaritmo natural de una potencia también se utiliza para simplificar el producto entre un factor constante y un logaritmo natural. Por ejemplo, considera el siguiente producto:

\[6\cdot\ln(2)\]

Dado que se trata del producto de una constante por un logaritmo natural, de acuerdo con la propiedad del logaritmo natural de una potencia, esto puede simplificarse a un logaritmo natural cuyo argumento es una potencia donde la base es el argumento original (2) y el exponente es el factor constante (6). Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}6\cdot\ln(2)&=\ln\left(2^6\right)\\&=\ln(64)\end{aligned}\]

Logaritmo natural del recíproco

\[\ln\left(\frac{1}{x}\right)=-\ln(x)\]

La propiedad del logaritmo natural del recíproco establece que el logaritmo natural del recíproco de un número “x”, es decir, el logaritmo natural de 1/x, es igual al opuesto del logaritmo natural de “x”.

propiedad del logaritmo natural del recíproco de un número real diferente de cero

Es importante destacar que la propiedad del logaritmo natural del recíproco es una extensión de la propiedad del logaritmo natural de una potencia. De acuerdo con las propiedades de los exponentes, el recíproco de un número “x” (1/x) se puede expresar como una potencia con base “x” y exponente negativo. Por lo tanto, la propiedad del logaritmo natural del recíproco puede escribirse de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\ln\left(\frac{1}{x}\right)&=\ln\left(x^{-1}\right)\\&=-1\cdot\ln(x)\\&=-\ln(x)\end{aligned}\]

Logaritmo natural de una raíz

\[\ln\left(\sqrt[n]{x}\right)=\frac{1}{n}\cdot\ln(x)\]

La propiedad del logaritmo natural de una raíz establece que el logaritmo natural de una raíz es igual al producto del recíproco del índice de la raíz por el logaritmo natural del radicando.

propiedad del logaritmo natural de la raíz enésima de un número real

Es importante destacar que esta propiedad también es una extensión de la propiedad del logaritmo natural de una potencia. De acuerdo con las propiedades de los exponentes, la raíz enésima de un número real “x” se puede expresar como una potencia de base “x” y exponente racional 1/n, donde “n” es el índice de la raíz. Por lo tanto, la propiedad del logaritmo natural de una raíz puede escribirse de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\ln\left(\sqrt[n]{x}\right)&=\ln\left(x^{\frac{1}{n}}\right)\\&=\frac{1}{n}\cdot\ln(x)\end{aligned}\]

Logaritmo natural de uno

\[\ln(1)=0\]

La propiedad del logaritmo natural de uno establece que el logaritmo natural de uno es igual a cero.

el logaritmo natural de uno es igual a cero

Logaritmo natural de la base "e"

\[\ln(e)=1\]

La propiedad del logaritmo natural de la base establece que el logaritmo natural de la base e (Número de Euler) es igual a uno.

el logaritmo natural de la base "e" es igual a uno

Propiedad del cambio de base de un logaritmo natural

El logaritmo natural (logaritmo en base “e”) puede expresarse en términos de otra base mediante la siguiente fórmula matemática:

propiedad del cambio de base del logaritmo natural

En esta expresión:

  • ln(x) representa el logaritmo natural de “x” (logaritmo en base “e”), donde “e” es el número de euler cuyo valor aproximado es de 2.718.
  • loga(x) es el logaritmo de “x” en una nueva base “a”.
  • loga(e) es el logaritmo de la base “e” en la nueva base “a”.

Esta fórmula es útil para realizar cálculos en bases diferentes, especialmente cuando las herramientas disponibles trabajan con logaritmos en una base específica (como logaritmo base 10 o base 2).