Vector unitario

Un vector unitario es aquel cuya magnitud es igual a 1. A diferencia de otros tipos de vectores, que se denotan con una flecha sobre la letra, los vectores unitarios se representan con un acento circunflejo (^) sobre la letra.

Por ejemplo, un vector unitario A se denota como Â, y de manera similar, un vector unitario U se denota simplemente como û.

Tabla de contenido

¿Cómo obtener un vector unitario?
Normalización de vectores
Pasos para normalizar un vector
Ejemplos
Preguntas frecuentes

¿Cómo obtener un vector unitario?

Para obtener un vector unitario a partir de cualquier vector, se divide cada una de sus componentes entre su magnitud. A este proceso se le denomina normalización de vectores.

Normalización de vectores

El proceso de normalización de vectores consiste en tomar un vector distinto del vector nulo y obtener un nuevo vector con la misma dirección y sentido, pero con magnitud igual a 1.

Dado un vector A distinto del vector nulo, el vector unitario asociado a A es un vector unitario con la misma dirección y sentido que A, y se denota como ûₐ.

Si A es un vector en dos dimensiones, definido como A=(a₁, a₂), la fórmula para obtener su vector unitario está definida de la siguiente manera:

\[\hat{u}_a=\left(\frac{a_1}{|A|}, \frac{a_2}{|A|}\right)\]

En esta fórmula a₁ y a₂ corresponden a las componentes del vector, y |A| representa su magnitud.

Por otra parte, si A es un vector en tres dimensiones, definido como A=(a₁, a₂, a₃), la fórmula para obtener un vector unitario a partir de este vector está definida de la siguiente manera:

\[\hat{u}_a=\left(\frac{a_1}{|A|}, \frac{a_2}{|A|}, \frac{a_3}{|A|}\right)\]

En esta fórmula a₁, a₂ y a₃ corresponden a las componentes del vector, y |A| representa su magnitud.

Pasos para normalizar un vector

Los pasos para normalizar un vector son los siguientes:

Paso 1. Identificar las componentes del vector.
Paso 2. Calcular la magnitud del vector.
Paso 3. Dividir cada componente entre la magnitud del vector.

Ejemplos

Ejemplo 1. Hallar el vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que el vector A=(4, -3).

Solución: El primer paso para hallar un vector unitario a partir de otro (normalizar un vector) consiste en identificar las componentes del vector. En este caso las componentes del vector A=(4, -3) son a_x=4 y a_y=-3.

El segundo paso consiste en calcular la magnitud del vector. La magnitud de un vector A en dos dimensiones, definido como A=(a_x, a_y), está definida como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[|A|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\]

De tal manera que, la magnitud del vector A=(4, -3) se determina de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}|A|&=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\\&=\sqrt{4^2+(-3)^2}\\&=\sqrt{16+9}\\&=\sqrt{25}\\&=5\end{aligned}\]

El tercer paso consiste en dividir cada componente del vector entre la magnitud. Al realiza la división se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}\frac{a_x}{|A|}&=\frac{4}{5}\\\frac{a_y}{|A|}&=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}\end{aligned}\]

Por lo tanto, el vector unitario con la misma dirección y sentido que A=(4, -3) es û_a=(4/5, -3/5).

Ejemplo 2. Si B es un vector en tres dimensiones definido como B=(3, -2, 9), hallar un vector unitario con la misma dirección y sentido.

El segundo paso consiste en calcular la magnitud del vector. La magnitud de un vector B en tres dimensiones, definido como A=(a_x, a_y, a_z), está dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus tres componentes. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

\[|A|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\]

Por lo que, la magnitud del vector B=(3, -2, 9) se determina de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}|B|&=\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}\\&=\sqrt{3^2+(-2)^2+9^2}\\&=\sqrt{9+4+81}\\&=\sqrt{94}\end{aligned}\]

El tercer paso consiste en dividir cada componente del vector entre la magnitud. Al realiza la división se obtiene lo siguiente:

\[\begin{aligned}\frac{b_x}{|B|}&=\frac{3}{\sqrt{94}}\\\frac{b_y}{|B|}&=\frac{-2}{\sqrt{94}}=-\frac{2}{\sqrt{94}}\\\frac{b_z}{|B|}&=\frac{9}{\sqrt{94}}\end{aligned}\]

Por lo tanto, el vector unitario con la misma dirección y sentido que B = (3, -2, 9) es û_a=(3/√94, -2/√94, 9/√94).

Preguntas frecuentes

¿Cómo obtener un vector unitario?

Para obtener un vector unitario a partir de cualquier vector, se deben dividir cada una de sus componentes entre su magnitud.

¿Cuál es la fórmula para obtener un vector unitario?

Si A es un vector en dos dimensiones, definido como A=(a₁, a₂), y cuya magnitud es |A|, la fórmula del vector unitario está dada por: û_a=(a₁/|A|, a₂/|A|). Por otro lado, si A es un vector en tres dimensiones, definido como A=(a₁, a₂, a₃), la fórmula del vector unitario es: û_a=(a₁/|A|, a₂/|A|, a₃/|A|).

¿Qué es la normalización de vectores?

La normalización de vectores es el procedimiento mediante el cual se obtiene un vector unitario, es decir, un vector cuya magnitud es igual a 1, manteniendo la misma dirección y sentido que el vector original.

¿Cómo se normaliza un vector?

El procedimiento para normalizar un vector consiste en identificar las componentes del vector, calcular su magnitud y dividir cada una de sus componentes entre su magnitud.